10-4 Tegak Lurus Terhadap Tali Busur

Sebuah alat tukang kayu dapat digunakan untuk menemukan pusat sebuah meja bundar. Teorema pada bab ini menjelaskan tentang bagaimana hal ini dapat dilakukan.

Gambar di datas mengilustrasikan sebuah properti dari garis sumbu yang tegak lurus dengan sebuah tali busur. Pada masing-masing gambar l adalah sumbu yang tegak lurus dengan tali busur AB.

Apakah garis l melalui titik O ?

Tiga gambar di atas akan menjelaskan tentang teorema ini.

Teorema 10-5

Sumbu yang tegak lurus dari sebuah tali busur terdapat pusat lingkaran.

BUKTI

Diketahui : Ruas garis AB adalah tali busur lingkaran O, dan l adalah garis sumbu yang tegak lurus ruas garis AB.

Bukti : O adalah sebuah titik dari garis l.

Pernyataan	Alasan
l adalah garis sumbu ruas garis AB. OA = OB O terletak pada garis l.	Diketahui Definisi lingkaran Sebuah titik yang memiliki jarak sama dari titik A dan B termasuk sumbu ruas garis AB. (Teorema 6-10).

APLIKASI

Temukan pusat sebuah meja bundar.

Tahap 1 Pilih dua tali busur ruas garis AB dan ruas garis CD.

Tahap 2 Gambar garis sumbu p dari ruas garis AB, dan sumbu q dari ruas garis CD.

Kesimpulan : Berdasarkan teorema 10-5 pusat lingkaran terletak pada kedua garis p dan q. Oleh karena itu, pusat meja adalah titik perpotongan garis-garis tersebut.

Dua teorema penting lainnya:

Teorema 10-6

Jika sebuah garis melaui pusat sebuah lingkaran tegak lurus dengan tali busur yang bukan merupakan diameter lingkaran, maka garis ini membagi tali busur dan garis ini busur minor

Teorema 10-7

Jika sebuah garis melalui pusat lingkaran membagi dua sebuah tali busur yang bukan merupakan diameternya, maka garis ini tegak lurus dengan teli busur tersebut.

Teorema 10-6 dapat digunakan untuk menmukan informasi yang belum diketahui tentang lingkaran.

Contoh :

Diketahui : lingkaran O dengan jari - jari 4 inchi. Ruas garis OX tegak lurus ruas garis PQ. Tali busur P berjarak 1 inchi dari O.

Temukan : PQ

Berdasarkan informasi yang diketahui OP = 4 dan OY = 1. Dengan menguunakan Teorema Phytagoras pada segitiga OPY, dapat kita temukan bahwa PY = √15. Teorema 10-6 menunjukkan ruas garis OX membagi ruas garis PQ sama besar. Oleh karena itu PQ = 2√15

10-5 Menyinggung lingkaran

Tinjauan : Sebuah garis menyinggug lingkaran jika garis tersebut memotong lingkaran tepat di satu titik.

Andaikan anda ingin mengukur sudut pojok dari sepotong kayu untuk membuat meja kecil. Untuk melakukan pekerjaan yang rapi harus menggambarkan busur lingkaran terlebih dahulu. Tepi papan harus menyinggung busur. Bagaimana busur dapat digambar?

Sebuah teorema pada pelajaran ini akan membantu memecahkan masalah tersebut. Pada masing-masing gambar, ruas garis OA adalah jari-jari dan l tegak lurus ruas garis OA.

Apakah l merupakan garis singgung?

Pengamatan anda dijelaskan teorema ini.

Teorema 10-8 Jika sebuah garis yang tegak lurus dengan jari-jari terletak di satu satu titik pada lingkaran, maka garis tersebut menyinggung lingkaran.

BUKTI :

Diketahui : l tegak lurus ruas garis OA

Buktikan : l menyinggung lingkaran.

Perencanaan: Menggunakan bukti tak langsung. Anggap l tidak menyinggung lingkaran. Berarti l tidak memotong lingkaran atau l memotong lingkaran di dua tempat (dua titik). Akan kita selidiki pangandaian tersebut.

Pernyataan	Alasan
1. l memotong lingkaran di titik B. 2. Ruas garis OA tegak lurus l 3. Ruas garis OB adalah sisi miring (garis hipotenusa) segitiga siku-siku. 4. OB › OA 5. OA = OB	1. Pengandaian bukti tak langsung 2. Diketahui 3. Definisi sisi miring. 4. Panjang sisi miring lebih besar daripada sisi lainnya. 5. Defifnisi lingkaran

Pernyataan 4 dan 5 kontaradiktif. Oleh karena itu pengandaian ditolak dan garis l menyinggung lingkaran.

APLIKASI

Sekarang kita pecahakan masalah yang telah dipaparkan di awal pelajaran.

Tahap 1 Gambar garis sumbu lingkaran.

Tahap 2 Pilih titik O pada garis sumbu tersebut dan gambar ruas garis OA dan ruas garis OB yang saling tegak lurus pada sisi lingkaran.

Tahap 3 tittik O pafda sumbu berjarak sama dari sisi tepi lingkaran. Oleh karena itu OA = OB. Gambar pusat lingkaran di O yang melalui titik A dan B.

Tepi papan menyinggung lingkaran karena teorema 10-8.

Dua teori lainnya tentang garis singgung.

Teorema 10-9

Jika sebuah garis menyinggung lingkaran, maka jari-jari yang digambarkan ke titik singgung tegak lurus dengan garis singgung.

Teorema 10-10

Jika sebuah garis tegak lurus dengan garis singgung pada satu titik lingkaran, maka pada garis tersebut terdapat pusat lingkaran.

10-6 Menyinggung dari sebuah titik ke lingkaran

Seorang pengukur tanah berusaha menemukan pusat sebuah kolam air mancur. Tersedia tongkat dan transit. Teorema ini metode untuk menemukan pusat dengan alat tersebut.

Pada masing-masing kasus, sinar PA dan sinar PB adalah garis singgung di A dan B. Ukur dengan penggaris atau busur derajat untuk mengetahui panjang yang belum diketahui.

Teorema 10-11

Ruas garis singgung dari lingkaran ke titik di luar lingkaran kongruen dan membentuk sudut yang kongruen dengan garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan sebuah titik.

BUKTI

Diketahui : Sinar PA dan sinar PB menyinggung A dan B.

Buktikan : PA ≅ PB dan ∠1 ≅ ∠2

Pernyataan	Alasan
Gambar sinar PO dan jari-jari ruas garis OA dan ruas garis OB. OA = OB PO = PO Ruas garis OA tegak lurus sinar PA dan ruas garis OB tegak lurus sinar PB segitiga POA ≅ segitiga POB Ruas garis PA ≅ ruas garis PB, ∠1 ≅∠2	Konstruksi Definisi jari-jari Berhimpit Teorema 10-9 SAS CPCTC

APLIKASI

Masalah pengukur tanah yang dijelaskan di awal pelajaran dapat dipecahkan dengan menggunakan teorema 10-11 dan faktanya sumbu lingkaran itu sungguh unik.

Tahap 1 Buat 2 transit dan tetntukan pada

masing-masing kasus posisi ruas garis singgung.

Tahap 2 Buat sebuah garis yang memasuki garis lain pada kedua transit di sumbu sudut yang dibentuk oleh garis singgung.

Tahap 3 Sebuah tongkat ditempatkan di "gar

is pandang" dari kedua garis yang harus tepat di pusat lingkaran.

Catatan: Jangan digambarkan dengan skala.

Posted in: geometri