4. Pembuktian Menggunakan Sifat-sifat Dasar

4-4. Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Vertikal

Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari pasangan sudut yang terbentuk dari sepasang garis yang berpotongan. Sebagai contoh sebuah kincir angin menunjukkan banyak contoh sudut yang terbentuk dari perpotongan dua buah garis. Teorema pada bab ini adalah tentang hubungan antara sudut yang terbentuk dari garis yang berpotongan.

Garis BC dan garis AD bersimpangan pada O. Sudut AOB dan sudut COD adalah sudut vertical.

Definisi : Sudut bertolak belakang adalah dua sudut yang dibentuk dari dua garis yang berpotongan tetapi yang bukan pasangan sudut yang segaris.

1. Sudut 1 dan sudut 2 adalah sudut berpelurus.

2. Sudut 3 dan sudut 2 adalah sudut berpelurus.

3. Sudut 1 dan sudut 3 adalah sudut yang kongruen.

4. Sudut 3 dan sudut 4 adalah sudut berpelurus.

5. Sudut 2 dan sudut 4 adalah sudut yang kongruen.

• Pasangan sudut segaris adalah pasangan sudut dengan sisi bersama seperti gabungan dari dua sisi yang segaris.
• Pasangan sudut berpelurus adalah dua sudut yang memiliki jumlah sudut sama dengan 180⁰ .
• Linear pair postulate : Jika dua sudut membentuk sebuah garis, maka sudut tersebut adalah dua garis sudut berpelurus.

Teorema 4.9.

Teorema sudut-sudut yang bertolak belakang : Jika dua garis berpotongan, maka sudut yang bertolak belakang merupakan sudut yang kongruen.

4-5. Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Luar

Meninjau ulang beberapa sifat pertidaksamaan bilangan real:

a. Definisi lebih dari : a > b yaitu a = b + c dimana c adalah bilangan positif.

b. Sifat Transitif : jika a > b dan b > c maka a > c.

c. Sifat Penambahan : jika a > b maka a + c > b + c.

d. Sifat Perkalian : jika a > b dan c > 0, maka ac > bc. Jika a > b dan c < 0 maka ac

e. Sifat Trichotomy : Untuk bilangan real a dan b maka a = b atau a > b atau a < b.

Sifat-sifat di atas akan digunakan untuk membuktikan teorema pada bab ini. Pertama, kita membutuhkan dua definisi.

Definisi :

a. Sudut luar segitiga adalah sebuah sudut yang membentuk pasangan segaris dengan satu sudut dari segitiga tersebut.

b. Sudut dalam jauh berkenaan dengan sudut luar segitiga adalah dua sudut dalam segitiga yang tidak berdekatan dengan sudut luar.

Teorema sudut luar : Ukuran besar sudut luar segitiga lebih dari sudut dalam jauh (besar sudut luar > besar sudut dalam jauh) .

Bukti:

Diketahui : ∆ ABC dengan sudut luar yaitu sudut 1.

Buktikan besar sudut 1 > besar sudut 2

Pernyataan dan alasan :

1. Sudut 1 adalah sudut luar ∆ ABC (diketahui)

2. Ambil M nenjadi titik tengah dari garis AC (pilih M)

3. Pada ruas garis BM pilih titik D sehingga ruas garis BM ≅ ruas garis MD (dalil garis-titik : dua titik terkandung pada sebuah garis. Pilih D)

4. Ruas garis AM ≅ MC ( definisi titik tengah)

5. Sudut BMA ≅ sudut DMC (karena sudut yang bertolak belakang itu kongruen)

6. ∆ AMB ≅ ∆ CMD ( segitiga yang memiliki sudut-sudut yang sama itu kongruen)

7. Sudut MCD ≅ sudut 2 (CPCTC)

8. Besar sudut MCD = besar sudut 2 ( definisi sudut kongruen)

9. Besar sudut MCD + besar sudut DCE = besar sudut 3 ( definisi antara sinar)

10. Besar sudut 2 + besar sudut DEC = besar sudut 3 ( substitusi)

11. Besar sudut 3 > besar sudut 2 (definisi ebih dari)

12. Besar sudut 1 = besar sudut 3 (karena sudut yang bertolak belakang itu kongruen)

13. Besar sudut 1 > besar sudut 2 (substitusi)

4-6. Menggunakan Bukti Tidak Langsung

Cara pembuktian secara langsung diawali dengan syarat-syarat yang diketahui dan diakhiri dengan kesimpulan yang benar. Cara pembuktian tidak langsung meliputi mengasumsikan negasi dari apa yang ingin kamu buktikan. Dengan menggunkan alas an, kita tunjukkan bahwa asumsi itu menuju pada kontradiksi. Jadi pernyataan yang dibuktikan pasti benar.

Langkah untuk membuktikan teorema menggunakan bukti tidak langsung :

1. Tulis ‘GIVEN’ (diketahui) dan ‘PROVE’ (membuktikan) dari hipotesa.

2. Mengambil negasi dari pernyataan BUKTI.

3. Tulis langkah pada pembuktian untuk menunjukkan bahwa assumsi menuju pada kontradiksi dari fakta yang diketahui (teorema, definisi, informasi yang diketahui dan sebagainya).

4. Simpulkan bahwa assumsi itu salah dan pembuktian pernyataan itu benar.

Contoh :

1. Teorema : Jika 2 garis berpotongan pada suatu titik P .

Langkah I

Diketahui : Garis l dan m berpotongan pada titik P.

Buktikan : P satu-satunya titik perpotongan.

Analisa : Langkah 2 dari pembuktian tak langsung adalah mengambil negasi dari kalimat bukti yaitu “P bukan satu-satunya titik potong “, artinya bahwa ada titik potong yang kedua selain P. Kemudian kita tunjukkan bahwa mempunyai 2 titik adalah kontradiksi (penyangkalan).

Langkah 2 :

Seandainya P bukan satu-satunya titik potong dari garis l dan m (assumsi pembuktian tak langsung).

Langkah 3 :

a. sebutkan titik kedua dari perpotongan garis l dan m yaitu titik Q.

b. l mengandung dua titik P dan Q, m mengandung dua titik P dan Q.

c. P dan Q terkandung/dimuat di dua garis (kontradiksi dengan dalil garis dan titik yaitu dua titik terkandung di satu garis dan hanya satu garis).

Langkah 4 :

Jadi P adalah satu-satunya titik persimpangan di garis l dan m.