Modus Ponen (MP)

1. Modus Ponen (MP)

p⇒q
p
∴q

Pembuktian:
[(p⇒q)∧p]⇒q
⇔ ~[(~p∨q)∧p]∨q (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨~p]∨q (Komp.DM)
⇔ [(p∨~p)∧(~p∨~q)]∨q (Dist)
⇔ [T∧(~p∨~q)]∨q (Komp)
⇔ (~p∨~q)]∨q (Id)
⇔ ~p∨(~q∨q) (As)
⇔ ~p∨T (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
p
∴q
Argumen sah

2. Modus Tollens (MT)

p⇒q
~q
∴~p

Pembuktian ;
[(p⇒q)∧~q]⇒~p
⇔ ~[(~p∨q)∧~q]∨~p (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨q]∨~p (DM)
⇔ [(p∨q)∧(~q∨q)]∨~p (Dist)
⇔ [(p∨q)∧T]∨~p (Komp)
⇔ (p∨q)∨~p (Id)
⇔ (p∨~p)∨(q∨~p) (Dist)
⇔ T∨(q∨~p) (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
~q
∴~p
Argumen sah

3. Silogisme

p⇒q
q⇒r
∴p⇒r

Pembuktian :

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
⇔ (p⇒q)⇒[(q⇒r)⇒(p⇒r)] (Eksp)
⇔ (p⇒q)⇒[(~q∨r)⇒(~p∨r)] (Imp)
⇔ (p⇒q)⇒[(q∧~r)∨(~p∨r)] (Imp)
⇔ (p⇒q)⇒[(q∧~r)∨(r∨~p)] (Kom)
⇔ (p⇒q)⇒[(q∧~r)∨r]∨~p (As)
⇔ (p⇒q)⇒[(q∨r)∧(~r∨r)]∨~p (Dist)
⇔ (p⇒q)⇒[(q∨r)∧T]∨~p (Komp)
⇔ (p⇒q)⇒(q∨r)∨~p (Id)
⇔ (~p∨q)⇒q∨r∨~p (Imp)
⇔ ~(~p∨q)∨(q∨r∨~p) (Imp)
⇔ ~(~p∨q)∨(~p∨q)∨r) (As)
⇔ T∨r (Komp)
⇔ T (id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
q⇒r
∴p⇒r
Argumen sah


4. Distruktif Silogisme (DS)

p∨q
~p
∴q

Pembuktian :

[(p∨q)∧~p]⇒q
⇔ ~[(p∨q)∧~p]∨q (Imp)
⇔ [(~p∧~q)∨p]∨q (DM)
⇔ [(~p∨p)∧(~q∨p)]∨q (Dist)
⇔ [T∧(~q∨p)]∨q (Komp)
⇔ (~q∨p)∨q (Id)
⇔ (~q∨q)∨p (As)
⇔ T∨p (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p∨q
~p
∴q
Argumen Sah

5. Konstruktif Delema (KD)

p⇒q∧(r⇒s)
p∨r
∴q∨s

Pembuktian :

{[(p⇒q)∧(r⇒s)]∧(p∨r)}⇒q∨s
⇔ [(~p∨q)∧(~r∨s)∧(p∨r)]⇒q∨s (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨(r∧~s)∨(~p∧~r)]∨(q∨s) (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨(~p∧~r)∨(r∧~s)]∨(q∨s) (As)
⇔ [(p∧~q)∨(~p∧~r)]∨[(r∧~s)]∨(q∨s)] (As)
⇔ [{(p∧~q)∨~p}∧{(p∧~q)∨~r}]∨[(r∧~s)]∨(q∨s)] (Dist)
⇔ [{(p∧~q)∨~p}∧{(p∧~q)∨~r}]∨[{(r∧~s)]∨s}∨q] (As)
⇔ [{(p∨~p)∧(~q∨~p)}∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}]∨[{(r∨s)∧(~s∨s)}∨q] (Dist)
⇔ [{T∧(~q∨~p)}∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}]∨[{(r∨s)∧T}∨q] (Komp)
⇔ [{(~q∨~p)∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}]∨[{(r∨s)∨q] (Id)
⇔ [{(~q∨~p)∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}∨q]∨(r∨s)] (As)
⇔ [{(~q∨~p)∨q}∧{(p∨~r)∨q}∧{(~q∨~r)∨q}]∨[(r∨s)] (Dist)
⇔ [{(~q∨q)∨~p}∧(p∨q∨~r)∧{(~q∨q)∨~r}]∨[(r∨s)] (As)
⇔ [(T∨~p)∧(p∨q∨~r)∧(T∨~r)]∨[(r∨s)] (Komp)
⇔ [T∧(p∨q∨~r)∧T]∨(r∨s) (Id)
⇔ (p∨q∨~r)∨(r∨s) (Id)
⇔ (r∨~r)∨(p∨q∨s) (As)
⇔ T∨(p∨q∨s) (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q∧(r⇒s)
p∨r
∴q∨s
Argumen sah

6. Destruktif Dilema (DD)

p⇒q∧(r⇒s)
(~q∨~s)
∴(~p∨~r)

Pembuktian:

{[(p⇒q)∧(r⇒s]∧(~q∨~s)⇒(~p∨~r)
⇔ [(~p∨q)∧(~r∨s)∧(~q∨~s)]⇒(~p∨~r) (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨(r∧~s)∨(q∧s)] ∨ (~p∨~r) (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨(q∧s)∨(r∧~s) ∨ (~p∨~r)] (As)
⇔ [(p∧~q)∨(q∧s)]∨[(r∧~s) ∨ (~p∨~r)] (As)
⇔ [{(p∧~q)∨q}∧{(p∧~q)∨s}] ∨ [{(r∧~s)∨(~p∨~r)] (Dis)
⇔ [{(p∧~q)∨q}∧{(p∧~q)∨s}] ∨ [{(r∧~s)∨~r}∨~p] (As)
⇔ [{(p∨q)∧(~q∨q)}∧{(p∨s)∧(~q∨s)}]∨[{(r∨~r)∧(~s∨~r)}∨~p] (Dis)
⇔ [{(p∨q)∧T}∧{(p∨s)∧(~q∨s)}]∨[{T∧(~s∨~r)}∨~p] (Komp)
⇔ [(p∨q)∧(p∨s)∧(~q∨s)]∨[(~s∨~r)∨~p] (Id)
⇔ [(p∨q)∧(p∨s)∧(~q∨s)∨p]∨(~s∨~r) (As)
⇔ [{(p∨q)∨~p}∧{(p∨s)∨~p}∧{(q∨s)∨~p}]∨(~s∨~r) (Dis)
⇔ [{(p∨~p)∨q}∧{(p∨~p)∨s}∧(q∨s∨~p}]∨(~s∨~r) (As)
⇔ [(T∨q)∧(T∨s)∧(q∨s∨~p}]∨(~s∨~r) (Komp)
⇔ [(T∧T∧(q∨s∨~p}]∨(~s∨~r) (Id)
⇔ (q∨s∨~p}∨(~s∨~r) (Id)
⇔ (s∨~s)∨(~p∨q∨~r) (As)
⇔ T∨(~p∨q∨~r) (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q∧(r⇒s)
(~q∨~s)
∴(~p∨~r)
Argumen sah.

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