4. Pembuktian Menggunakan Sifat-sifat Dasar

4-4. Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Vertikal

Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari pasangan sudut yang terbentuk dari sepasang garis yang berpotongan. Sebagai contoh sebuah kincir angin menunjukkan banyak contoh sudut yang terbentuk dari perpotongan dua buah garis. Teorema pada bab ini adalah tentang hubungan antara sudut yang terbentuk dari garis yang berpotongan.

Garis BC dan garis AD bersimpangan pada O. Sudut AOB dan sudut COD adalah sudut vertical.

Definisi : Sudut bertolak belakang adalah dua sudut yang dibentuk dari dua garis yang berpotongan tetapi yang bukan pasangan sudut yang segaris.

1. Sudut 1 dan sudut 2 adalah sudut berpelurus.

2. Sudut 3 dan sudut 2 adalah sudut berpelurus.

3. Sudut 1 dan sudut 3 adalah sudut yang kongruen.

4. Sudut 3 dan sudut 4 adalah sudut berpelurus.

5. Sudut 2 dan sudut 4 adalah sudut yang kongruen.

• Pasangan sudut segaris adalah pasangan sudut dengan sisi bersama seperti gabungan dari dua sisi yang segaris.
• Pasangan sudut berpelurus adalah dua sudut yang memiliki jumlah sudut sama dengan 180⁰ .
• Linear pair postulate : Jika dua sudut membentuk sebuah garis, maka sudut tersebut adalah dua garis sudut berpelurus.

Teorema 4.9.

Teorema sudut-sudut yang bertolak belakang : Jika dua garis berpotongan, maka sudut yang bertolak belakang merupakan sudut yang kongruen.

4-5. Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Luar

Meninjau ulang beberapa sifat pertidaksamaan bilangan real:

a. Definisi lebih dari : a > b yaitu a = b + c dimana c adalah bilangan positif.

b. Sifat Transitif : jika a > b dan b > c maka a > c.

c. Sifat Penambahan : jika a > b maka a + c > b + c.

d. Sifat Perkalian : jika a > b dan c > 0, maka ac > bc. Jika a > b dan c < 0 maka ac

e. Sifat Trichotomy : Untuk bilangan real a dan b maka a = b atau a > b atau a < b.

Sifat-sifat di atas akan digunakan untuk membuktikan teorema pada bab ini. Pertama, kita membutuhkan dua definisi.

Definisi :

Read more »

1-5 Bisector ruas garis dan sudut

Di lapangan baseball, base kedua mempunyai jarak yang sama dari kedua garis foul line. Home plate, base pertama, base kedua dan base ketiga berada di pojok persegi. Apakah gundukan pitcher berada di titik tengah antara :

1. Home plate dan base kedua?
2. Base pertama dan base ketiga?
3. Tidak keduanya?
   

Definisi 1-18 : Bisector ∠ABC adalah sinar BD yang terletak di dalam ∠ABC sehingga ∠ABC ≅ ∠DBC. Sinar BD adalah bisector ∠ABC. Titik di sinar BD sama dengan jarak dari semua titik di ∠ABC .

1. Definisi 1-19 : Titik tengah ruas garis adalah titik C diantara A dan B sehingga ruas garis AC ≅ ruas garis CB.

   

Titik C adalah titik tengah ruas garis AB.

Definisi 1-20 : Bisector dari ruas garis adalah tiap titik, ruas garis, sinar, garis atau bidang yang bertemu di titik tengah dari suatu bidang.

Ruas garis RS, sinar MT, garis l dan bidang N semua memotong ruas garis PQ di titik tengah M dan merupakan bisector ruas garis PQ.

Read more »

10-4 Tegak Lurus Terhadap Tali Busur

Sebuah alat tukang kayu dapat digunakan untuk menemukan pusat sebuah meja bundar. Teorema pada bab ini menjelaskan tentang bagaimana hal ini dapat dilakukan.

Gambar di datas mengilustrasikan sebuah properti dari garis sumbu yang tegak lurus dengan sebuah tali busur. Pada masing-masing gambar l adalah sumbu yang tegak lurus dengan tali busur AB.

Apakah garis l melalui titik O ?

Tiga gambar di atas akan menjelaskan tentang teorema ini.

Teorema 10-5

Sumbu yang tegak lurus dari sebuah tali busur terdapat pusat lingkaran.

BUKTI

Diketahui : Ruas garis AB adalah tali busur lingkaran O, dan l adalah garis sumbu yang tegak lurus ruas garis AB.

Bukti : O adalah sebuah titik dari garis l.

Pernyataan	Alasan
l adalah garis sumbu ruas garis AB. OA = OB O terletak pada garis l.	Diketahui Definisi lingkaran Sebuah titik yang memiliki jarak sama dari titik A dan B termasuk sumbu ruas garis AB. (Teorema 6-10).

Read more »

Membuktikan A ∩ B=B ∩ A

Show that:

1. A ∩ B=B ∩ A
2. (A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C)

Answer:
1. Proof:
Show that A ∩ B ⊂ B ∩ A
take any x ∈ (A ∩ B)
obvious x ∈ (A ∩ B)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ B ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ (B ∩ A)
so A ∩ B ⊂ B ∩ A...........( I )

Show that B ∩ A ⊂ A ∩ B
take any x ∈ (B ∩ A)
obvious x ∈ (B ∩ A)
⇔ x ∈ B ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B (komutatif)
⇔ x ∈ (A ∩ B)
so B ∩ A ⊂ A ∩ B.............( II )
From (!) and (II) we conclude that A ∩ B ⊂ B ∩ A

Read more »

Modus Ponen (MP)

1. Modus Ponen (MP)

p⇒q
p
∴q

Pembuktian:
[(p⇒q)∧p]⇒q
⇔ ~[(~p∨q)∧p]∨q (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨~p]∨q (Komp.DM)
⇔ [(p∨~p)∧(~p∨~q)]∨q (Dist)
⇔ [T∧(~p∨~q)]∨q (Komp)
⇔ (~p∨~q)]∨q (Id)
⇔ ~p∨(~q∨q) (As)
⇔ ~p∨T (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
p
∴q
Argumen sah

2. Modus Tollens (MT)

p⇒q
~q
∴~p

Pembuktian ;
[(p⇒q)∧~q]⇒~p
⇔ ~[(~p∨q)∧~q]∨~p (Imp)
⇔ [(p∧~q)∨q]∨~p (DM)
⇔ [(p∨q)∧(~q∨q)]∨~p (Dist)
⇔ [(p∨q)∧T]∨~p (Komp)
⇔ (p∨q)∨~p (Id)
⇔ (p∨~p)∨(q∨~p) (Dist)
⇔ T∨(q∨~p) (Komp)
⇔ T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
~q
∴~p
Argumen sah

3. Silogisme

p⇒q
q⇒r
∴p⇒r

Read more »